오늘도 해석학 공부를 시작하도록 하겠다.
우리는 일상에서 크고 작은 것들에 대한 비교를 자주 한다. 키를 서로 비교한다던가, 시험 성적을 비교한다거나, 아니면 남은 복무일 수를 비교한다거나. 오늘은 이러한 ‘크고 작음’의 개념을 수학적으로 정의한 순서 집합 (ordered set) 을 정의해보도록 하겠다. 그리고 least-upper-bound property 라고 불리는 성질에 대해서도 알아보도록 하겠다.
지난 번에 배웠던 내용은 실수의 필요성에 대한 내용이었다. 유리수 만으로는 $\sqrt{2}$ 같이 쉽게 생각해볼 수 있는 수도 나타낼 수 없기 때문에 실수가 필요하다는 이야기를 했었고, 집합들의 상태, 포함 관계 등을 나타내는 기호들을 배웠다.
이 소단원에서는 ordered set 이 무엇인지 정의할 것이다. 이 ordered set 이라는 개념은 실수를 구성하는 큰 부품중 하나로, 실수에서의 ‘크고 작음’ 의 개념이 존재하게 하는 역할을 한다. 지금부터는 해석학이나 심화된 미분적분학을 공부한 적이 없다면 생소한 용어들이 나오기 시작할테니 기대해도 좋다.
$S$ 를 어떤 집합이라고 하자. 어떤 order는 $S$ 에서 정의 되는 관계로, $<$ 기호로 표현되며 다음과 같은 두 가지 성질을 만족한다.
만약 $x\in S$ 이고 $y\in S$ 라면 이 세 가지 문장중 딱 하나만 참이다.
\[\begin{align*} x<y, \qquad x=y, \qquad y<x \end{align*}\]만약 $x,y,z \in S$ 이고, $x<y$ 이면서 $y<z$ 라면, $x<z$ 이다.
$x < y$ 대신 $y > x$ 라고 쓰기도 한다. $x \leq y$ 라고 쓰는 것은, $x < y$ 이거나 $x = y$ 임을 나타내며, 둘 중에 정확히 어떤 것이 참인지를 표현하지는 않는다. 달리 말하자면, $x \leq y$ 는 $x > y$ 의 부정문이다.
이 내용은 아마 대부분의 사람에게 익숙한 내용일 것이다. 부등호와 등호는 초, 중학교 때 배우고 오는 개념이기 떄문이다. 지체하지 않고 바로 다음 정의로 넘어가도록 하겠다.
ordered set은 order가 정의된 집합이다.
ordered set이라는 용어는 단어가 주는 느낌 그대로 order가 정의된 집합을 의미한다. 책에 나온 예시로 설명하면, 임의의 유리수 $r$ 과 $s$ 에 대하여 $s-r$ 이 양의 유리수를 의미하도록 $r<s$ 를 정의하면, 유리수 $\mathbb{Q}$ 는 ordered set이다.
$S$ 가 ordered set 이고, $E\subset S$ 라고 하자. 어떤 $\beta\in S$ 가 존재하여 모든 $x\in E$ 에 대하여 $x\leq\beta$ 를 만족시키면, $E$ 가 bounded above라고 하며, $\beta$ 를 $E$ 의 upper bound라고 한다. lower bound는 위의 정의에서 $\leq$ 기호를 $\geq$ 기호로 바꾸면 정의된다.
슬슬 낯선 단어가 나오기 시작한다. 우선 이 정의에서는 $E$ 의 upper bound와 lower bound가 무엇인지를 정의하는데, bound 라는 단어는 경계라는 의미를 가지고 있으며, upper bound는 말 그대로 위에 있는 경계, lower bound는 아래에 있는 경계를 의미한다. $E$ 의 어떠한 원소도 upper bound보다 클 수 없으며, lower bound보다 작을 수 없다.
$S$ 가 어떤 ordered set 이라고 하고, $E\subset S$ 이며, $E$ 가 bounded above 되어 있다고 하자. 다음 성질들을 만족하는 $\alpha\in S$ 가 존재한다고 할 때,
$\alpha$ 를 $E$ 의 least upper bound 또는 supremum 이라고 부르며, 다음과 같이 쓴다.
\[\alpha=\sup E\]
$E$ 의 greatest lower bound 또는 infimum 도 같은 방식으로 정의된다.
\[\alpha=\inf E\]
가 의미하는 바는 $\alpha$ 는 $E$ 의 lower bound 이며, $\beta>\alpha$ 이 때 $\beta$ 가 $E$ 의 lower bound 인 것은 없다는 것이다.
처음 보는 단어들이 나오기 시작해서 어렵게 느껴질 수 있지만 같이 의미를 천천히 뜯어나가다 보다보면 그렇게까지 어려운 개념이 아니라는 것을 알 수 있을 것이다.
least upper bound라는 용어를 뜯어보면, ‘가장 작은 위에 있는 경계’라는 말이된다. 이게 무슨 말이냐 하면, 위에 있는 경계는 경계인데, 그 경계 들중 가장 작은거라고 생각하면 된다.
최댓값과 최솟값의 개념을 확장한 것으로 이해하면 쉬운데, 최댓값과 최솟값은 그 값이 해당 집합에 포함되어 있어야 하지만, least upper bound 와 greatest lower bound는 해당 집합에 포함되지 않을 수 있는 것이다.
다음에 나오는 1.9 예시에서는 1.8에서의 정의를 활용하여 몇 가지 집합에서 이 개념들이 어떻게 적용되는지를 설명한다.. 그리고 앞으로 least upper bound 와 greatest lower bound 보다 supremum 과 infinum 이라는 용어를 사용하는 쪽을 지향하겠다.
$A$ 를 $p^2<2$ 를 만족하는 모든 유리수 $p$ 를 모아둔 집합, $B$ 를 $p^2>2$ 를 만족하는 모든 유리수 $p$ 를 모아둔 집합이라고 하자. ‘유리수 집합’의 부분집합으로써의 집합 $A$ 와 $B$ 를 바라보자. 집합 $A$ 는 bounded above 되어있다. 실제로, $A$ 의 upper bound 들은 정확히 $B$ 의 원소이다. $B$ 에는 가장 작은 원소가 없으므로, $A$ 는 $\mathbb Q$ 에서 least upper bound 를 가지지 않는다.
비슷하게, $B$ 는 bounded below 되어있다. $B$ 의 모든 lower bound 의 집합은 $A$ 와 모든 $r \le 0$ 인 $r \in \mathbb Q$ 로 구성되어 있다. $A$ 에는 가장 큰 원소가 없으므로, $B$ 는 $\mathbb Q$ 에서 greatest lower bound 를 가지지 않는다.
만약 $\alpha x = \sup E$ 가 존재한다면, $\alpha x$ 는 $E$ 의 원소일 수도 있고, 아닐 수도 있다. 예를 들어, $E_1$ 를 $r < 0$ 인 $r \in \mathbb Q$ 들을 모아놓은 집합이라고 하자. 그리고 $E_2$ 를 $r \le 0$ 인 $r \in \mathbb Q$ 들을 모아놓은 집합이라고 하자. 그러면 아래의 식이 성립한다.
\[ \sup E_1 = \sup E_2 = 0. \]
그리고 우리는 $0 \notin E_1$ 이지만, $0 \in E_2$ 라는 사실을 확인할 수 있다.
$E$ 를 $n = 1, 2, 3, \cdots$ 에 대하여 $\frac{1}{n}$ 들을 모아놓은 집합이라고 하자. 그러면 $\sup E = 1$ 이고, 이는 $E$ 에 포함되어 있으며, $\inf E = 0$ 이고, 이는 $E$ 에 포함되어 있지 않다.
이 예시는 Example 1.1 에서의 내용과 연결되는 내용이다. 쉽게 설명하면, $A$ 집합은 $\sqrt{2}$ 보다 작은 모든 유리수를 모아놓은 집합이고, $B$ 집합은 $\sqrt{2}$ 보다 큰 모든 유리수를 모아놓은 집합인 것인데, 각각 supremum 과 infimum 이 유리수 집합내에서는 존재하지 않는다. 그야 그 값이 있다면 $\sqrt{2}$ 여야 하는데, 이는 유리수가 아니기 때문이다.
이 예시에서는 어떤 집합의 supremum 이나 infimum 이 해당 집합에 있을 수도, 없을 수도 있다는 것을 보여주고 있다. 실제로 $E_1$ 에는 supremum 인 $0$ 이 없고, $E_2$ 에는 있다는 것을 확인할 수 있다.
이 예시에서는 supremum 의 집합 내 존재 여부와, infimum 의 집합 내 존재 여부가 서로 관련이 없다는 것을 보여주고 있다. 실제로 $E$ 에 supremum 인 $1$ 은 포함되어 있지만, infimum 인 $0$ 은 포함되어 있지 않다.
이 예시들을 살펴보며 알 수 있는 것은, supremum 과 infimum 은 존재하거나 존재하지 않을 수 있으며, 해당 집합에 포함될 수도 있고, 포함되지 않을 수도 있으며, 심지어 둘 중 한쪽만 포함될 수도 있다는 것이다.
이제 Definition 1.10 에서는 자세하게 알아본 supremum 과 infimum 을 기반으로 실수체가 가져야 하는 조건중 하나인 least-upper-bound-property 에 대해 알아볼 것이다.
어떤 ordered set $S$ 는 다음의 성질을 만족할 떄, least-upper-bound property를 만족한다고 한다:
만약 $E\subset S$ 이고, $E$ 가 공집합이 아니며, $E$ 가 bounded above 되어있으면, $\sup E$ 는 $S$ 에 존재한다.
이 부분의 정의가 무슨 말을 하는건지 조금 헷갈릴 수 있다. $S$ 가 least-upper-boundproperty를 가지고 있다는 것은, $S$ 의 부분집합인 $E$ 가 특별한 성질을 가지게 된다는 것을 의미한다.
그 특별한 성질이 무엇인가 하면, $S$ 에서 가져온 부분집합 $E$ 가 운좋게도 공집합이 아니면서 bounded above 되어있다면, 그 부분집합 $E$ 의 least upper bound 가 존재하고, 그것이 $S$ 에 포함된다는 것이다.
만약 기껏 $E$ 를 뽑긴헀는데, 공집합이거나 bounded above 되어있지 않은 경우는 전제부터 어긋나있기 때문에 아예 고려하지 않는다.
여기서 한 가지 의문이 들게 된다. least-upper-bound property라는게 있다면, greatest-lower-bound property는 없는가? 그것에 대한 이야기가 다음에 오는 Theorem 1.10이다.
$S$ 가 least-upper-bound property 를 지닌 ordered set 이라고 가정하자. $B\subset S$ 이고, $B$ 가 공집합이 아니며, $B$ 가 bounded below 되어있다고 하자. $L$ 이 $B$ 의 lower bound 들을 모두 모아놓은 집합이라고 하자. 그렇다면,
\[\alpha = \sup L\]
이 $S$ 에 존재하며, $\alpha = \inf B$ 이다. 달리 말하면, $\inf B$ 는 $S$ 에 존재한다.
이 Theorem 이 말하고자 하는 것은 least-upper-bound property를 가진다는 것은, 동시에 greatest-lower-bound property를 가진다는 것을 의미한다는 것이다. 그걸 동시에 가진다는게 말이나 되나 싶을 수 있지만, 놀랍게도 이게 된다. 아래는 그 증명이다.
이걸로 Ordered Set 단원이 마무리 되었다. 이 단원에서는 order, ordered set, bounded above, bounded below, upper bound, lower bound, least upper bound (supremum), greatest lower bound (infimum), least-upper-bound-property 가 무엇인지 정의하였고, least-upper-bound-property 를 가진 ordered set 은 greatest-lower-bound-property 또한 가짐을 증명하였다.
오늘 배운 내용들을 간단하게 요약해보겠다.
ordered set 을 정의하면서 기존의 최대값과 최솟값의 개념을 확장한 supermum 과 infimum 을 정의하였다.
ordered set 이 least-upper-bound property 를 만족한다는 것을 해당 집합의 아무 부분집합 (공집합이 아닌) 을 뽑아도 원래 집합 안에 해당 집합의 supremum 이 존재하는 것으로 정의하였다.
greatest-lower-bound property 를 가지는 것은 least-upper-bound property 를 가지는 것과 동일하다는 것을 증명하여, LUBP 만을 사용해도 된다는 것을 보였다.
다음 글에서 다룰 Fields 소단원에서는 실수체가 만족해야 하는 구조인 field 에 대해 자세하게 알아보도록 할 것이다. 다음 글의 초반 부분이 오늘 배운 ordered set 과 바로 연결되지는 않기 때문에 새로운 정의와 개념이 갑자기 튀어나와 당황스러울 수 있지만 차분하게 설명을 읽고 우리가 아는 그 실수체에서의 성질들을 떠올려 본다면 충분히 이해할 수 있을 것이다.
오늘의 해석학 공부는 여기까지!